FUNCION

Definición Matemática de una función

Desde un punto de vista formal, se dice que f es una función o aplicación de A en B y se denota

f \colon A \to B \,

y satisface:

  1. \forall a \in A \quad \rm {\exists b} \in B\mid (a,b) \in f
  2. Si(a,b_1) \in f \and (a,b_2) \in f \Rightarrow b_1 = b_2

Esto significa que a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota f(a)=b \, en vez de (a,b)\in f.

En algunos textos de matemática se reserva la palabra función para el caso en que el conjunto B es un conjunto numérico y se utiliza aplicación para el caso más general de conjuntos cualesquiera. Esta distinción no está generalizada y se trata, en todo caso, de una distinción informal y de uso discrecional.

[editar] Dominio, conjunto de llegada y conjunto imagen

  • El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los objetos que puede transformar. Se denota Dom f o Df.
D_f = \left\{x \in A \mid \exists y \in B \mid (x,y) \in f\right\}
Obsérvese que la condición de existencia de la definición de función garantiza que, si f \colon A \to B \, es una función, entonces Df = A
  • El codominio de una función f \colon A \to B \, es el conjunto B \,.
Obsérvese que algunos elementos del codominio pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. Puede haber algún y \in B tal que \forall x \in A \;\, (x,y)\notin f
  • El conjunto imagen, también llamado recorrido o rango, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Se denota Im f o If.
Im_f = \left\{y \in B \mid \exists x \in A \mid (x,y) \in f\right\}

Por ejemplo, la función f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen todos los números reales, pero una función g(x) = x², si bien tendrá como dominio a todos los reales, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real (de hecho, todos lo son).

  • Siempre es posible restringir tanto el conjunto dominio e imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, si se quiere restringir f(x) = x² para que sea biyectiva, es posible tomar una sola de las ramas de modo que el dominio restringido y el conjunto imagen tomen valores del intervalo [0,+∞).

[editar] Cantidad de variables

El dominio y la imagen pueden tener una única variable, o bien varias. De acuerdo a dichas cantidades se le pueden dar diferentes nombres a la función

  • \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} es una función escalar
  • \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} es un campo escalar
  • \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n es una función vectorial
  • \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m es un campo vectorial

Se debe notar que la presencia de varias variables no afecta los criterios ya definidos sobre lo que es una función y lo que es sólo una Relación matemática. Dado un (a,b) puede ocurrir que a = b, pero el elemento que pertenece al dominio y que debe tener una y sólo una imagen es (a,b), no a o b en forma individual.

[editar] Conceptos para funciones de valor real

Para funciones A\to\mathbb{R} tenemos:

  • Conjunto de ceros: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función vale cero.
C_0 = \left\{x \in D_f\mid f(x) = 0\right\}
  • Conjunto de negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos.
C^- = \left\{x \in D_f\mid f(x) < 0\right\}
  • Conjunto de positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.
C^+ = \left\{x \in D_f\mid f(x) > 0\right\}

[editar] Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

  • Función inyectiva: Si cada elemento del conjunto es imagen de un único elemento del dominio. f: A \rightarrow B\, es inyectiva \harr \forall x,y \in A : f(x) = f(y) \rarr x = y ; o lo que es lo mismo: \harr \forall x,y \in A : x \neq y \rarr f(x) \neq f(y)
  • Función sobreyectiva: f: A \rightarrow B\, es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (conjunto de llegada o codominio). f: A \rightarrow B\, es sobreyectiva \harr \forall y \in B : \exists x \in A : f(x) = y
  • Función biyectiva: f: A \rightarrow B es biyectiva si f \, es inyectiva y sobreyectiva.


Imagen:Surjection.svg
Sobreyectiva, no inyectiva		Imagen:Injection.svg
Inyectiva, no sobreyectiva
Imagen:Bijection.svg
Biyectiva		Imagen:Total function.svg
No sobreyectiva, no inyectiva

[editar] Álgebra de las funciones

[editar] Composición de funciones

Dadas dos funciones f \colon A \to B \,\; y g \colon B \to C \,\; tales que la imagen de f \, está contenida en el dominio de g\,, se define la función composición \;\;g\circ f \colon A \to C \, como el conjunto de pares (\,x, g(f(x)\,), para todos los elementos x \, de A \,.


A \to \,\,B\;\; \to \;\;\,C
x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x))


Dado x\, conocemos (\, x, f(x) \,), puesto que conocemos la función f\,, y dado cualquier elemento y \, de B \, conocemos también (\,y, g(y)\, ), puesto que conocemos la función g \,. Por tanto, (\, x, g(f(x)) \,) está definido para todo x. Luego \;\;g\circ f \; cumple la condición de existencia que se exige a las funciones.


También cumple la condición de unicidad, dado que para cada x \, el valor de f(x) \, es único, y para cada f(x) \, también lo es el de g(f(x)) \,, por ser f \; y g \; funciones.


La composición de funciones es asociativa:

h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f


Sin embargo, en general, la composición de funciones no es conmutativa. Dadas f \colon A \to B \, y g \colon B \to C \,, f\circ g\, puede no tener ni siquiera sentido, porque g \, “devuelve” elementos de C \,, en tanto que f \, está definida en el dominio A \,. Pero incluso en los casos en que dominios y codominios son compatibles (o son el mismo conjunto), nada garantiza que la composición de funciones sea conmutativa. Por ejemplo, con funciones numéricas f(x)=x+1 \,\; y \,g(x)=x^2 \,\;, \,f(g(x))=x^2+1 \,\;, en tanto que \;g(f(x))=(x+1)^2 \,

[editar] Función identidad

Dado un conjunto \, A \,, la función \; e_A \colon A \to A \, que asigna a cada x \, de A \, el mismo x \, de A \, se denomina función identidad o función unitaria.

e_A = \left\{(x, x)\mid x \in A \right\}

Dada cualquier función g \colon A \to B \,, es claro que e_B\circ f \colon A \to B \, es igual a f\, y que f\circ e_A \colon A \to B \, es también igual a f\,, puesto que para todo x \;\; f(e_A(x))=f(x) y también \;\; e_B(f(x))=f(x)

\; e_B \circ f = f \circ e_A = f \;

[editar] Función inversa

Dada una función f \colon A \to B \,\;, se denomina función inversa o función recíproca de f \;, f^{-1} \colon B \to A \, a la función que cumple la siguiente condición:

\; f^{-1} \circ f = e_A \;
\; f \circ f^{-1} = e_B \;

Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación f^{-1} \;, que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la existencia de f^{-1} \; es que f \; sea inyectiva. Por tanto, las afirmaciones

  • Existe función inversa de f \; y
  • f \; es biyectiva

son lógicamente equivalentes.

 

autor: torres sinche eduardo 4 c

Escrito por lartresort el 22/04/2007 22:33 | Comentarios (1)

Comentarios

NO HAY DE LOGICA

Escrito por ATENCIO 24/04/2007 23:56

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